TEOREMA DE COMPACIDAD DE LA BOLA UNITARIA CERRADA O TEOREMA DE BANACH -- ALAOGLU

  

En análisis funcional y ramas relacionadas de las matemáticas, el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu) afirma que la bola unidad cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado es compacta en la topología débil*. Una prueba habitual identifica la bola unidad en topología débil* como un subconjunto cerrado de un producto de conjuntos compactos con la topología producto. Como consecuencia del teorema de Tíjonov, este producto, y por tanto la bola unidad en su interior, es compacto.

 

ANTES DE EXCUDRIÑAR , CONOCEREMOS A LOS AUTORES ENCARGADOS DE IDEAR, CREAR Y DESARROLLAR EL TEOREMA...

                    

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Biografía de STEFAN BANACH

 

Fue un matemático Polaco, uno de los más destacados de la escuela de matemática de Lwow (Lwowska Szkola Matematyki) en la Polonia previa a la guerra. Fue presidente de la Sociedad Matemática Polaca. ​

Realizó contribuciones a distintas áreas de la matemática, pero su mayor aporte se dio en el área del análisis funcional: introdujo el concepto de lo que hoy se conoce como espacio de Banach y probó varios teoremas importantes en ese campo (entre ellos, el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Alaoglu, el teorema de punto fijo de Banach y el teorema de Banach-Steinhaus).

 

En 1920 le ofrecieron un puesto como ayudante de Antoni Lomicki en la Universidad Politécnica de Lwow, donde había estudiado. Pese a no tener formalmente una gran formación en matemática. Se doctoró en 1922, con una tesis considerada como fundacional en el área del análisis funcional.

 

 

Sus Obras

Banach es considerado usualmente como el fundador del análisis funcional moderno, creando una teoría que generalizaba algunas contribuciones anteriores realizadas por  Erick  Ivar Fredholm, David Hilbert y  Vito Volterra.

Fue quien formuló el concepto ahora conocido como Espacio de Banach y realizó contribuciones fundamentales en la teoría de los Espacios vectoriales topológicos, incluyendo el Teorema de Hahn- Banach, el teorema de Banach-Alaoglu y el teorema de Banach-Steinhaus.

Biografía de LEONIDAS ALAOGLU

 

Fue un matemático, conocido por su resultado llamado teorema de Alaoglu sobre la compacidad de estrella débil de la bola unitaria cerrada en el dual de un espacio normado , también conocido como el teorema de Banach-Alaoglu

 

Alaoglu nació en Red Deer, Alberta de padres griegos . Recibió su licenciatura en 1936, su maestría en 1937 y su doctorado en 1938 (a la edad de 24 años), todos de la Universidad de Chicago . Su tesis, escrita bajo la dirección de Lawrence M. Graves se tituló Topologías débiles de espacios lineales normativos . Su tesis doctoral es la fuente del teorema de Alaoglu . El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización de este resultado de Bourbaki a topologías duales.

Biografía de ANDRÉI TÍJONOV

 

Fue un matemático Soviético y Ruso conocido por sus contribuciones en topología, análisis funcional, física matemática. 

Estudió en la Universidad Estatal de Moscú  donde optó su doctorado en 1927 bajo la asesoría de Pável Aleksándrov. En 1933 obtuvo plaza de profesor en la misma universidad donde estudio. Fue reconocido miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de la URSS en enero de 1939, y académico de pleno derecho en 1966.

Aporte

En topología, el teorema de Tíjonov establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto.

El teorema se nombró así por Andréi Nikoláyevich Tíjonov, quien lo probó por primera vez en 1930 para potencias del intervalo unitario cerrado y lo generalizó en 1935 resaltando que la prueba era la misma que para el caso especial. La prueba más reciente que se publicó está contenida en un artículo de 1937 de Eduard Cech.

Varios textos identifican el teorema de Tíjonov como el resultado más importante en topología general .

El teorema depende crucialmente de las definiciones precisas de compacidad y de la topología producto; de hecho, el artículo de Tíjonov de 1935 define la topología producto por primera vez.

De hecho, la definición de Heine-Borel de compacidad —que cada cubierta de un espacio por conjuntos abiertos admite una subcubierta finita— es relativamente reciente. Más popular en los siglos XIX y principios del XX fue el criterio de Bolzano-Weierstrass de que cada sucesión admite una subsucesión convergente, ahora llamado compacidad secuencial. Estas condiciones son equivalentes para espacios metrizables, pero ninguna implica la otra sobre la clase de todos los espacios topológicos.

Es casi trivial probar que el producto de dos espacios compactos secuenciales compacto secuencialmente —uno pasa a una subsucesión para el primer componente y entonces a una subsucesión para el segundo componente. Un argumento más elaborado de diagonalización establece la compacidad secuencial de un producto contable de espacios compactos secuenciales. Sin embargo, el producto de un número no contable de copias del intervalo unitario cerrado falla en ser compacto secuencialmente.

Esta es una falla crítica: si X es un espacio completamente regular de Hausdorff, existe un encaje natural desde X hacia [0,1]. La compacidad de [0,1]^C(X,[0,1]) muestra que cada espacio regular completamente de Hausdorff se embebe en un espacio espacio compacto de Hausdorff (o puede ser "compactificado"). Esta construcción no es otra que la compactificación de Stone–Čech. Inversamente, todos los subespacios de espacios compactos de Hausdorff son regulares completamente de Hausdorff, así que esto caracteriza los espacios regulares completamente de Hausdorff como aquellos que pueden ser compactificados. Tales espacios son llamados ahora espacios de Tíjonov.

RETOMANDO LA INTRODUCCIÓN...

 

Dado que el teorema de Banach-Alaoglu se prueba a través del teorema de Tíjonov, se construye sobre el marco axiomático de ZFC, en particular sobre el axioma de elección. La mayor parte de resultados del análisis funcional también se basa en ZFC. Sin embargo, el teorema no necesita el axioma de elección en el caso separable, en este caso se tiene una demostración constructiva. Este teorema tiene aplicaciones en física, donde se describe el conjunto de estados de un álgebra de observables, dado que cualquier estado se puede escribir como combinación lineal convexa de estados puros.

En  matemáticas, los axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, son un sistema axiomático concebido para formular la teoría de conjuntos. Normalmente se abrevian como ZF o en su forma más común, complementados por el axioma de elección (axiom of choice), como ZFC.

¿QUÉ ES TOPOLOGÍA DÉBIL?

En matemáticas , topología débil es un término alternativo para ciertas topologías iniciales , a menudo en espacios vectoriales topológicos o espacios de operadores lineales, por ejemplo, en un espacio de Hilbert. El término se usa más comúnmente para la topología inicial de un espacio vectorial topológico (como un espacio vectorial normalizado ) con respecto a su dual continuo . El resto de este artículo se ocupará de este caso, que es uno de los conceptos del análisis funcional . Se puede llamar a sub

conjuntos de un espacio vectorial topológico débilmente cerrado (respectivamente, débilmente compacto , etc.) si están cerrados (respectivamente, compacto , etc.) con respecto a la topología débil. Asimismo, las funciones a veces se denominan débilmente continuas (respectivamente, débilmente diferenciables , débilmente analíticas , etc.) si son continuas (respectivamente, diferenciables , analíticas , etc.) con respecto a la topología débil