TEOREMA DE COMPACIDAD DE LA BOLA UNITARIA CERRADA O TEOREMA DE BANACH -- ALAOGLU

  

En análisis funcional y ramas relacionadas de las matemáticas, el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu) afirma que la bola unidad cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado es compacta en la topología débil*. Una prueba habitual identifica la bola unidad en topología débil* como un subconjunto cerrado de un producto de conjuntos compactos con la topología producto. Como consecuencia del teorema de Tíjonov, este producto, y por tanto la bola unidad en su interior, es compacto.

 

ANTES DE EXCUDRIÑAR , CONOCEREMOS A LOS AUTORES ENCARGADOS DE IDEAR, CREAR Y DESARROLLAR EL TEOREMA...

                    

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Biografía de STEFAN BANACH

 

Fue un matemático Polaco, uno de los más destacados de la escuela de matemática de Lwow (Lwowska Szkola Matematyki) en la Polonia previa a la guerra. Fue presidente de la Sociedad Matemática Polaca. ​

Realizó contribuciones a distintas áreas de la matemática, pero su mayor aporte se dio en el área del análisis funcional: introdujo el concepto de lo que hoy se conoce como espacio de Banach y probó varios teoremas importantes en ese campo (entre ellos, el teorema de Hahn-Banach, el teorema de Banach-Alaoglu, el teorema de punto fijo de Banach y el teorema de Banach-Steinhaus).

 

En 1920 le ofrecieron un puesto como ayudante de Antoni Lomicki en la Universidad Politécnica de Lwow, donde había estudiado. Pese a no tener formalmente una gran formación en matemática. Se doctoró en 1922, con una tesis considerada como fundacional en el área del análisis funcional.

 

 

Sus Obras

Banach es considerado usualmente como el fundador del análisis funcional moderno, creando una teoría que generalizaba algunas contribuciones anteriores realizadas por  Erick  Ivar Fredholm, David Hilbert y  Vito Volterra.

Fue quien formuló el concepto ahora conocido como Espacio de Banach y realizó contribuciones fundamentales en la teoría de los Espacios vectoriales topológicos, incluyendo el Teorema de Hahn- Banach, el teorema de Banach-Alaoglu y el teorema de Banach-Steinhaus.

Biografía de LEONIDAS ALAOGLU

 

Fue un matemático, conocido por su resultado llamado teorema de Alaoglu sobre la compacidad de estrella débil de la bola unitaria cerrada en el dual de un espacio normado , también conocido como el teorema de Banach-Alaoglu

 

Alaoglu nació en Red Deer, Alberta de padres griegos . Recibió su licenciatura en 1936, su maestría en 1937 y su doctorado en 1938 (a la edad de 24 años), todos de la Universidad de Chicago . Su tesis, escrita bajo la dirección de Lawrence M. Graves se tituló Topologías débiles de espacios lineales normativos . Su tesis doctoral es la fuente del teorema de Alaoglu . El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización de este resultado de Bourbaki a topologías duales.

Biografía de ANDRÉI TÍJONOV

 

Fue un matemático Soviético y Ruso conocido por sus contribuciones en topología, análisis funcional, física matemática. 

Estudió en la Universidad Estatal de Moscú  donde optó su doctorado en 1927 bajo la asesoría de Pável Aleksándrov. En 1933 obtuvo plaza de profesor en la misma universidad donde estudio. Fue reconocido miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de la URSS en enero de 1939, y académico de pleno derecho en 1966.

Aporte

En topología, el teorema de Tíjonov establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto.

El teorema se nombró así por Andréi Nikoláyevich Tíjonov, quien lo probó por primera vez en 1930 para potencias del intervalo unitario cerrado y lo generalizó en 1935 resaltando que la prueba era la misma que para el caso especial. La prueba más reciente que se publicó está contenida en un artículo de 1937 de Eduard Cech.

Varios textos identifican el teorema de Tíjonov como el resultado más importante en topología general .

El teorema depende crucialmente de las definiciones precisas de compacidad y de la topología producto; de hecho, el artículo de Tíjonov de 1935 define la topología producto por primera vez.

De hecho, la definición de Heine-Borel de compacidad —que cada cubierta de un espacio por conjuntos abiertos admite una subcubierta finita— es relativamente reciente. Más popular en los siglos XIX y principios del XX fue el criterio de Bolzano-Weierstrass de que cada sucesión admite una subsucesión convergente, ahora llamado compacidad secuencial. Estas condiciones son equivalentes para espacios metrizables, pero ninguna implica la otra sobre la clase de todos los espacios topológicos.

Es casi trivial probar que el producto de dos espacios compactos secuenciales compacto secuencialmente —uno pasa a una subsucesión para el primer componente y entonces a una subsucesión para el segundo componente. Un argumento más elaborado de diagonalización establece la compacidad secuencial de un producto contable de espacios compactos secuenciales. Sin embargo, el producto de un número no contable de copias del intervalo unitario cerrado falla en ser compacto secuencialmente.

Esta es una falla crítica: si X es un espacio completamente regular de Hausdorff, existe un encaje natural desde X hacia [0,1]. La compacidad de [0,1]^C(X,[0,1]) muestra que cada espacio regular completamente de Hausdorff se embebe en un espacio espacio compacto de Hausdorff (o puede ser "compactificado"). Esta construcción no es otra que la compactificación de Stone–Čech. Inversamente, todos los subespacios de espacios compactos de Hausdorff son regulares completamente de Hausdorff, así que esto caracteriza los espacios regulares completamente de Hausdorff como aquellos que pueden ser compactificados. Tales espacios son llamados ahora espacios de Tíjonov.

RETOMANDO LA INTRODUCCIÓN...

 

Dado que el teorema de Banach-Alaoglu se prueba a través del teorema de Tíjonov, se construye sobre el marco axiomático de ZFC, en particular sobre el axioma de elección. La mayor parte de resultados del análisis funcional también se basa en ZFC. Sin embargo, el teorema no necesita el axioma de elección en el caso separable, en este caso se tiene una demostración constructiva. Este teorema tiene aplicaciones en física, donde se describe el conjunto de estados de un álgebra de observables, dado que cualquier estado se puede escribir como combinación lineal convexa de estados puros.

En  matemáticas, los axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, son un sistema axiomático concebido para formular la teoría de conjuntos. Normalmente se abrevian como ZF o en su forma más común, complementados por el axioma de elección (axiom of choice), como ZFC.

¿QUÉ ES TOPOLOGÍA DÉBIL?

En matemáticas , topología débil es un término alternativo para ciertas topologías iniciales , a menudo en espacios vectoriales topológicos o espacios de operadores lineales, por ejemplo, en un espacio de Hilbert. El término se usa más comúnmente para la topología inicial de un espacio vectorial topológico (como un espacio vectorial normalizado ) con respecto a su dual continuo . El resto de este artículo se ocupará de este caso, que es uno de los conceptos del análisis funcional . Se puede llamar a sub

conjuntos de un espacio vectorial topológico débilmente cerrado (respectivamente, débilmente compacto , etc.) si están cerrados (respectivamente, compacto , etc.) con respecto a la topología débil. Asimismo, las funciones a veces se denominan débilmente continuas (respectivamente, débilmente diferenciables , débilmente analíticas , etc.) si son continuas (respectivamente, diferenciables , analíticas , etc.) con respecto a la topología débil

TOPOLOGÍA DÉBIL Y TOPOLOGÍA DÉBIL*

 

Topología Débil

La topología débil, Tw , de X es la topología menos fina de X para la cual cada elemento de X∗ es continuo. Cabe ahora la siguiente acotación. Al considerar un espacio normado (X, k · k), llamaremos a la topología T , inducida por la norma, la topología fuerte de X. Para esta topología todo elemento de X∗ es continuo, es decir, para cada f ∈ X∗ se tiene que f −1 (V ) ∈ T para cada V ∈ Σ, donde Σ es la topología usual de R. En consecuencia, la topología Tw es la topología menos fina para la cual todo elemento de X∗ es continuo, es decir, para cada f ∈ X∗ se tiene que f −1 (V ) ∈ Tw para cada V ∈ Σ.

Corolario.

 Todo subespacio lineal de un espacio normado X es cerrado si y solo si es débilmente cerrado.

Proposición. La topología débil, Tw, de un espacio normado X, coincide con la topología fuerte, T , si y solo si X tiene dimensión finita.

 

Topología Débil* 

Conocemos que la topología débil de X∗, es la topología menos fina de X∗ tal que los elementos de X∗∗ son continuos. Sin embargo esta topología se torna menos ´útil que la topología en X∗ generada por los elementos de J(X), donde J : X → X∗∗ es la aplicación natural.

 

Definición

La topolog´ıa menos fina de X* para la cual los elementos de J(X) son continuos se denomina topología débil* de X* ; la denotaremos con T * w .

Es claro que esta topología es menos fina que la topología débil, es decir, T ∗ w ⊂ Tw de X∗ . Una base para la topología débil* está dada por los conjuntos de la forma

{ f ∈ X * : | f(xi) − fo(xi)| , 1 ≤ i ≤ n } , donde x1, .., xn ∈ X, ε > 0 y f0 ∈ X*

 Recordemos que f(xi) = J(xi) (f). Si X es reflexivo, tenemos que J(X) = X**, y en consecuencia la topología débil Tw de X* coincide con la topología débil*, T * w 

El Teorema

 Sea X un espacio normado, su dual X* es por tanto también un espacio normado (con la norma de operadores).

La bola unidad cerrada de X* es compacta con respecto a la topología débil*.

Esto es una motivación para tener diferentes topologías en un mismo espacio dado que en contraste la bola unidad en la topología de norma es compacta si y solo si el espacio es finito-dimensional, debido al lema de Riesz.

Teorema de Banach- Alaoglu Sucesional

 

Un caso especial del teorema de Banach-Alaoglu es la versión sucesional del teorema, que afirma que la bola unidad cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado separable es sucesionalmente compacta en la topología débil*. De hecho, la topología débil* sobre la bola unidad cerrada del dual de un espacio separable es metrizable, y por tanto compacidad y compacidad sucesional son equivalentes.

Específicamente, sea X un espacio normado separable y B la bola unidad cerrada en X^∗. Dado que X es separable, sea {x_n} un subconjunto denso numerable. Entonces se puede definir una métrica para x, y ∈ B:

P(x,y) =  ∑_(n=1)^∞▒〖2^(-n)   (|(x-y,xn)|)/(1+|(x-y,xn)|)〗

onde (.,.) denota la aplicación dual de X^∗ con X. La compacidad sucesional de B en esta métrica se puede demostrar con un argumento de diagonalización similar al empleado en la demostración del teorema de Arzelà-Ascoli.

Debido a la naturaleza constructiva de su demostración (en contraste con el caso general, que está basado en el axioma de elección), el teorema de Banach-Alaoglu sucesional se usa a menudo en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales para construir soluciones de EDP o problemas variacionales.

 Por ejemplo, si se quiere minimizar un funcional F: X –> R {\displaystyle F:X^{*}\to {\mathbb {R} }}X :Xen el dual de un espacio vectorial normado separable X, una estrategia habitual es construir primero una sucesión minimizadora X1, X2,…€ X*   {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{*}} que se aproxima al ínfimo de F, usar el teorema de Banach-Alaoglu sucesional para extraer una subsucesión que converja en la topología débil* a un límite x, y establecer entonces que x es un minimizador de F. El último paso suele requerir que F obedezca una propiedad de semicontinuidad inferior (sucesional) en la topología débil*.

Cuando X^∗ es el espacio de medidas de Radon finitas sobre la recta real (de forma que X =  Co(R)

Generalización: Teorema de Bourbaki- Alaoglu

 

El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización desarrollada por Bourbaki a topologías duales en espacios localmente convexos.

En análisis funcional y en áreas relativas a las matemáticas, espacios vectoriales topológicos localmente convexos o espacios localmente convexos son ejemplos de espacios vectoriales topológicos los cuales generalizan los espacios normados. Pueden ser definidos como espacios vectoriales topológicos cuya topología es generada por transformaciones de equilibrio absorbentes, conjuntos convexos. Paralelamente, pueden ser definidos como un espacio vectorial con una familia de seminormas y una topología puede ser definida en términos de esa familia. Aunque en general tales espacios no son necesariamente normables, la existencia de una base localmente convexa para el vector cero es lo suficientemente fuerte para sustentar el teorema de Hahn- Banach , produciendo así una teoría lo suficientemente rica de funcionales lineales continuos.

Los espacios de Fréchet son espacios localmente convexos que están dotados de una métrica y son completos respecto a esta métrica. Son generalizaciones de los espacios de Banach, que a su vez son espacios vectoriales completos con respecto a una norma.

 

Dado un espacio localmente convexo separado X con DUAL  continuo X ' entonces el polar U⁰ de cualquier entorno U en X es compacto en la topología débil  σ(X ',X) sobre X '.

En el caso de un espacio vectorial normado, el polar de un entorno es cerrado y acotado en el espacio dual. Por ejemplo, el polar de la bola unidad es la bola unidad cerrada en el dual. En consecuencia, para un espacio vectorial normado (y por tanto en un espacio de Banach), el teorema de Bourbaki-Alaoglu es equivalente al teorema de Banach-Alaoglu.

DEMOSTRACIÓN

Para todo x en X,

sea:

Dx = {z e C : |z|≤||x||},  y    D = ∏_xeX .D_x 

  Dado que cada D_x es un subconjunto compacto del plano complejo, D es también compacto en la topología producto por el teorema de Tíjonov.

Se puede identificar la bola unidad cerrada en X*,  B₁(X*), como un subconjunto de D de manera natural:

                                             f  (X*) –> (f(x)) xeX e D 

Esta aplicación es inyectiva y continua, 

con B₁(X*) con la topología débil* y D con la topología producto. Su inversa, definida sobre su rango, es también continua.

El teorema quedará demostrado si el rango de la aplicación anterior es cerrado. Pero esto es también claro. Si se tiene una red

 

f alpha(x) x e X –> (lambda sub- x)xeX en D,

 entonces el funcional definido por

g(x) = lambda sub- x 

 

permanece en B₁(X*).

Consecuencias (Teorema Banach Alaoglu)

•      En un espacio de Hilbert, todo conjunto acotado y cerrado es débilmente relativamente compacto dado que toda red acotada tiene una subred débilmente convergente (los espacios de Hilbert son reflexivos)

•      Como los conjuntos convexos y cerrados en norma son débilmente cerrados (teorema de Hahn-Banach), las clausuras en norma de conjuntos acotados convexos en espacios de Hilbert o espacios de Banach reflexivos son débilmente compactos.

•      Los conjuntos cerrados y acotados en B(H) son precompactos con respecto a la topología de operadores débil (que es más débil que la topología ultradébil, que en este caso es la topología débil* con respecto al predual de B(H), los operadores de clase de traza). Por tanto, las sucesiones acotadas de operadores tienen un punto de acumulación débil.

Como consecuencia, B(H) tiene la propiedad de Heine-Borel, si tiene el operador débil o la topología ultradébil.

Se debe tener en cuenta que aunque lo aparente, el teorema de Banach-Alaoglu no implica que la topología débil* sea localmente compacta. Esto es porque la bola unidad cerrada es solo un entorno del origen en la topolo, pero habitualmente no es un entorno del origen en la topología débil*, ya que tiene interior vacío en la topología débil*, a menos que el espacio sea finito-dimensional. De hecho, Weil  probó que todos los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff localmente compactos deben ser finito-dimensionales.

OPERADORES LINEALES (VIDEO)

 

Ejemplos de Operadores Lineales

Algunos ejemplos de operadores lineales

(1)  El operador nulo: Ax = 0 ∀x ∈ X;

 (2) El operador identidad: Ax = 1;

(3)  Ax = y si y(s) = R b a K(s, t) x(t) dt;

 (4) Ax = y si y(s) = x 00(s) + λ x(s);

(5)  El operador de diferencias finitas: Ax = y si y(s) = ∆ x(s) + λ x(s), siendo ∆ x(s) =          x(s + ∆ s) − x(s), x : R −→ R;

 (6)  El operador de transformada: Ax = R ∞ −∞ e i k s x(s) ds k ∈ R;

(7)  Si x = (x1, x2, x3, ...) A1x = Ã 1 2 (x1 + x2), 1 2 (x2 + x3), 1 2 (x3 + x4), ...! ; A2x       = ÃX∞ k=1 a1kxk, X∞ k=1 a2kxk, ...!

(8) Ax = y si y(s) = s x(s);

(9) Ax = y si y(s) = x(s − 1);

 (10)  El operador combinado (evaluaci´on y multiplicaci´on): Ax = y tal que y(t) = t 2          x(0). Donde A : C[0, 1] −→ C[0, 1];

 (11)  El operador producto por una función fija: Ax = y siendo y(t) = θ0(t) x(t);

(12)  Operador entre espacios de sucesiones: Ax = (λ1x1, λ2x2, ..., λnxn, ...), x = (x1, ..., xn, ...) λn ∈ R n ∈ N. 

REFERENCIA

- Köthe, Gottfried (1969). Topological Vector Spaces I. New York: Springer-Verlag. See §20.9.

- Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introduction to Functional Analysis. Oxford: Clarendon Press. ISBN0-19-851485-9. See theorem 23.5, p. 264.

- John B. Conway (1994).A course in functional analysis (2nd edición).  Berlin: Springer-Verlag  isbn 0-387-97245-5. See Chapter 5, section 3.

- Peter B. LAX (2002) Functional Analysis.Wiley-Interscience. PP. 120.ISBN 0-471-1