DEMOSTRACIÓN

Para todo x en X,

sea:

Dx = {z e C : |z|≤||x||},  y    D = ∏_xeX .D_x 

  Dado que cada D_x es un subconjunto compacto del plano complejo, D es también compacto en la topología producto por el teorema de Tíjonov.

Se puede identificar la bola unidad cerrada en X*,  B₁(X*), como un subconjunto de D de manera natural:

                                             f  (X*) –> (f(x)) xeX e D 

Esta aplicación es inyectiva y continua, 

con B₁(X*) con la topología débil* y D con la topología producto. Su inversa, definida sobre su rango, es también continua.

El teorema quedará demostrado si el rango de la aplicación anterior es cerrado. Pero esto es también claro. Si se tiene una red

 

f alpha(x) x e X –> (lambda sub- x)xeX en D,

 entonces el funcional definido por

g(x) = lambda sub- x 

 

permanece en B₁(X*).