Generalización: Teorema de Bourbaki- Alaoglu

 

El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización desarrollada por Bourbaki a topologías duales en espacios localmente convexos.

En análisis funcional y en áreas relativas a las matemáticas, espacios vectoriales topológicos localmente convexos o espacios localmente convexos son ejemplos de espacios vectoriales topológicos los cuales generalizan los espacios normados. Pueden ser definidos como espacios vectoriales topológicos cuya topología es generada por transformaciones de equilibrio absorbentes, conjuntos convexos. Paralelamente, pueden ser definidos como un espacio vectorial con una familia de seminormas y una topología puede ser definida en términos de esa familia. Aunque en general tales espacios no son necesariamente normables, la existencia de una base localmente convexa para el vector cero es lo suficientemente fuerte para sustentar el teorema de Hahn- Banach , produciendo así una teoría lo suficientemente rica de funcionales lineales continuos.

Los espacios de Fréchet son espacios localmente convexos que están dotados de una métrica y son completos respecto a esta métrica. Son generalizaciones de los espacios de Banach, que a su vez son espacios vectoriales completos con respecto a una norma.

 

Dado un espacio localmente convexo separado X con DUAL  continuo X ' entonces el polar U⁰ de cualquier entorno U en X es compacto en la topología débil  σ(X ',X) sobre X '.

En el caso de un espacio vectorial normado, el polar de un entorno es cerrado y acotado en el espacio dual. Por ejemplo, el polar de la bola unidad es la bola unidad cerrada en el dual. En consecuencia, para un espacio vectorial normado (y por tanto en un espacio de Banach), el teorema de Bourbaki-Alaoglu es equivalente al teorema de Banach-Alaoglu.