Un
caso especial del teorema de Banach-Alaoglu es la
versión sucesional del teorema, que afirma que
la bola unidad cerrada del espacio dual de un espacio vectorial
normado separable es sucesionalmente compacta en
la topología débil*. De hecho, la topología débil* sobre la bola unidad
cerrada del dual de un espacio separable es metrizable, y por tanto
compacidad y compacidad sucesional son equivalentes.
Específicamente,
sea X un espacio normado separable y B la
bola unidad cerrada en X∗.
Dado que X es separable, sea {xn} un
subconjunto denso numerable. Entonces se puede definir
una métrica para x, y ∈ B:
P(x,y) = ∑_(n=1)^∞▒〖2^(-n) (|(x-y,xn)|)/(1+|(x-y,xn)|)〗
onde
(.,.) denota la aplicación dual de X∗ con X.
La compacidad sucesional de B en esta métrica se puede
demostrar con un argumento de diagonalización similar al empleado en
la demostración del teorema de Arzelà-Ascoli.
Debido
a la naturaleza constructiva de su demostración (en contraste con el caso
general, que está basado en el axioma de elección), el teorema de
Banach-Alaoglu sucesional se usa a menudo en el campo de las ecuaciones en
derivadas parciales para construir soluciones de EDP o problemas
variacionales.
Por ejemplo, si se quiere minimizar
un funcional F: X –> R {\displaystyle F:X^{*}\to {\mathbb {R} }}X
:Xen el dual de un espacio vectorial normado separable X, una
estrategia habitual es construir primero una sucesión minimizadora X1, X2,…€ X*
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{*}} que se aproxima al ínfimo
de F, usar el teorema de Banach-Alaoglu sucesional para extraer una
subsucesión que converja en la topología débil* a un límite x, y
establecer entonces que x es un minimizador de F.
El último paso suele requerir que F obedezca una propiedad
de semicontinuidad inferior (sucesional) en la topología débil*.
Cuando X∗ es el espacio
de medidas de Radon finitas sobre la recta real (de forma
que X = Co(R)
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