Consecuencias (Teorema Banach Alaoglu)

•      En un espacio de Hilbert, todo conjunto acotado y cerrado es débilmente relativamente compacto dado que toda red acotada tiene una subred débilmente convergente (los espacios de Hilbert son reflexivos)

•      Como los conjuntos convexos y cerrados en norma son débilmente cerrados (teorema de Hahn-Banach), las clausuras en norma de conjuntos acotados convexos en espacios de Hilbert o espacios de Banach reflexivos son débilmente compactos.

•      Los conjuntos cerrados y acotados en B(H) son precompactos con respecto a la topología de operadores débil (que es más débil que la topología ultradébil, que en este caso es la topología débil* con respecto al predual de B(H), los operadores de clase de traza). Por tanto, las sucesiones acotadas de operadores tienen un punto de acumulación débil.

Como consecuencia, B(H) tiene la propiedad de Heine-Borel, si tiene el operador débil o la topología ultradébil.

Se debe tener en cuenta que aunque lo aparente, el teorema de Banach-Alaoglu no implica que la topología débil* sea localmente compacta. Esto es porque la bola unidad cerrada es solo un entorno del origen en la topolo, pero habitualmente no es un entorno del origen en la topología débil*, ya que tiene interior vacío en la topología débil*, a menos que el espacio sea finito-dimensional. De hecho, Weil  probó que todos los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff localmente compactos deben ser finito-dimensionales.