Topología Débil
La topología débil, Tw , de X es la
topología menos fina de X para la cual cada elemento de X∗ es continuo. Cabe ahora la siguiente acotación. Al considerar un
espacio normado (X, k · k), llamaremos a la topología T , inducida por la
norma, la topología fuerte de X. Para esta topología todo elemento de X∗ es continuo, es decir, para cada f ∈ X∗ se tiene que f −1 (V ) ∈ T para cada V ∈ Σ, donde Σ es
la topología usual de R. En consecuencia, la topología Tw es la topología menos
fina para la cual todo elemento de X∗ es continuo, es
decir, para cada f ∈ X∗ se tiene que f −1
(V ) ∈ Tw para cada V ∈ Σ.
Corolario.
Todo subespacio lineal de un
espacio normado X es cerrado si y solo si es débilmente cerrado.
Proposición. La topología débil, Tw, de un espacio normado X, coincide con la
topología fuerte, T , si y solo si X tiene dimensión finita.
Topología Débil*
Conocemos que la topología débil de X∗, es la topología menos fina de X∗ tal que los
elementos de X∗∗ son continuos. Sin embargo esta
topología se torna menos ´útil que la topología en X∗ generada por los elementos de J(X), donde J : X → X∗∗ es la aplicación natural.
Definición
La topolog´ıa menos fina de X* para la
cual los elementos de J(X) son continuos se denomina topología débil* de X* ;
la denotaremos con T * w .
Es claro que esta topología es menos
fina que la topología débil, es decir, T ∗ w ⊂ Tw de X∗ . Una base para la topología débil*
está dada por los conjuntos de la forma
{ f ∈ X * : | f(xi) −
fo(xi)| , 1 ≤ i ≤ n } , donde x1, .., xn ∈ X, ε > 0 y f0 ∈ X*
Recordemos que f(xi) = J(xi) (f).
Si X es reflexivo, tenemos que J(X) = X**, y en consecuencia la topología débil
Tw de X* coincide con la topología débil*, T * w
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